ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-08   
Даны действительные числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots , \lambda_{n}$ такие, что $\lambda_{1}^{k} + \lambda_{2}^{k} + \cdots + \lambda_{n}^{k}> 0$ при $k = 1, 2, 3, \cdots$. Положим
$f(t) = \frac{1}{(1 - \lambda_{1}t)(1 - \lambda_{2}t) \cdots (1 - \lambda_{n}t)}$
Доказать, что $f^{(k)}(0) > 0$ при $k = 1, 2, 3, \cdots$.


Решение:


При достаточно малых $|t|$ имеем
$ln f(t) = \sum_{m=1}^{\infty} ln \frac{1}{1 - \lambda_{m}t} = \sum_{m=1}^{n} sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_{m}^{k}t^{k}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}(\lambda_{1}^{k} + \cdots + \lambda_{n}^{k})t^{k} = \sum_{k=1}^{\infty}c_{k}t^{k}$,
где $c_{k} > 0 (k = 1, 2, \cdots)$. Отсюда следует, что
$f(t) = e^{ln f(t)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left ( \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}t^{k} \right )^{n} = 1 + c_{1}t + \left ( \frac{c_{1}^{2}}{2} + c_{2} \right ) t^{2} + \left ( \frac{c_{1}^{3} + c_{1}c_{3} + c_{3}}{6} \right )t^{3} + \cdots = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}t^{k}$,
где $a_{k} > 0$ при $k \in \mathbf{N}$. Так как $f^{(k)}(0) = a_{k}k!$, то и $f^{(k)}(0) > 0$.