Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 577
2014-06-08 
Разложить в ряд по степеням $x$ функцию $e^{x \cos \alpha} \sin (x \sin \alpha)$.
Решение:
Заметим, что
$f(x) = e^{x \cos \alpha} \sin (x \sin \alpha) = Im (e^{x \cos \alpha} e^{ix \sin \alpha}) = Im(e^{x \cos \alpha + I x \sin \alpha}) = Im (e^{xe^{i \alpha}})$.
Разлагая в степенной ряд функцию $e^{x ei \alpha}$, получим
$e^{xe^{i \alpha}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(e^{i \alpha})^{n}}{n!} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{e^{i \alpha n_{x} n}}{n!}$
Считая $x$ действительным, приравняем в последнем равенстве мнимые части:
$f(x) = Im(e^{xe^{i \alpha}}) = \sum_{n=0}^{\infty} Im(e^{i \alpha n}) \frac{x^{n}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin (n \alpha)}{n!} x^{n}$.
Разложить в ряд по степеням $x$ функцию $e^{x \cos \alpha} \sin (x \sin \alpha)$.
Решение:
Заметим, что
$f(x) = e^{x \cos \alpha} \sin (x \sin \alpha) = Im (e^{x \cos \alpha} e^{ix \sin \alpha}) = Im(e^{x \cos \alpha + I x \sin \alpha}) = Im (e^{xe^{i \alpha}})$.
Разлагая в степенной ряд функцию $e^{x ei \alpha}$, получим
$e^{xe^{i \alpha}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(e^{i \alpha})^{n}}{n!} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{e^{i \alpha n_{x} n}}{n!}$
Считая $x$ действительным, приравняем в последнем равенстве мнимые части:
$f(x) = Im(e^{xe^{i \alpha}}) = \sum_{n=0}^{\infty} Im(e^{i \alpha n}) \frac{x^{n}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin (n \alpha)}{n!} x^{n}$.
