Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 576
2014-06-08 
Пусть $f(x) \in C^{\infty}(\mathbf{R}), f(0) = 0, f^{(k)}(0) = 0$ и $f^{(k)}(x) \geq 0$ для всех $k \in \mathbf{N}$ и $x > 0$. Доказать, что $f(x) = 0$ при $x > 0$.
Решение:
Пусть $x > 0$. По формуле Тейлора $f(x) = \frac{f^{(k)}(\theta)}{k!} x^{k}, 0 \leq \theta \leq x$. Так как $f^{(k+1)}(y) \geq 0$ при $y \geq 0$, то $f^{(k)}$ возрастает на $[0, \infty)$ и $f^{(k)}(\theta) \leq f^{(k)}(x)$. Следовательно, $\frac{f^{(k)}(x)x^{k}}{k!} \geq f(x)$. Далее, по формуле Тейлора
$f(2x) = \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x)x^{k}}{k!} + \frac{f^{(n)}(\theta)}{n!} x^{n} \geq \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x)x^{k}}{k!} \geq n f(x) (x \leq \theta \leq 2x)$
Последнее неравенство может выполнятся при всех $n$ только в случае $f(x) = 0$.
Пусть $f(x) \in C^{\infty}(\mathbf{R}), f(0) = 0, f^{(k)}(0) = 0$ и $f^{(k)}(x) \geq 0$ для всех $k \in \mathbf{N}$ и $x > 0$. Доказать, что $f(x) = 0$ при $x > 0$.
Решение:
Пусть $x > 0$. По формуле Тейлора $f(x) = \frac{f^{(k)}(\theta)}{k!} x^{k}, 0 \leq \theta \leq x$. Так как $f^{(k+1)}(y) \geq 0$ при $y \geq 0$, то $f^{(k)}$ возрастает на $[0, \infty)$ и $f^{(k)}(\theta) \leq f^{(k)}(x)$. Следовательно, $\frac{f^{(k)}(x)x^{k}}{k!} \geq f(x)$. Далее, по формуле Тейлора
$f(2x) = \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x)x^{k}}{k!} + \frac{f^{(n)}(\theta)}{n!} x^{n} \geq \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x)x^{k}}{k!} \geq n f(x) (x \leq \theta \leq 2x)$
Последнее неравенство может выполнятся при всех $n$ только в случае $f(x) = 0$.
