2014-06-08
Доказать, что существуют постоянные $A, B, C$ такие, что для любой функции $f(x)$, трижды дифференцируемой на $[- 1, 1]$, справедливо неравенство
$A_{f}(-h) + Bf(0) + Cf(h) = f^{\prime}(0)h + O(h^{3})(|h| \leq 1)$.
Решение:
По формуле Тейлора
$f(h) = f(0) + f^{\prime}(0)h + \frac{f^{\prime \prime}(0) h^{2}}{2} + \frac{f^{\prime \prime \prime}(0)h^{3}}{6} + o(h^{3}) = f(0) + f^{\prime}(0)h + \frac{f^{\prime \prime}(0)h^{2}}{2} + O(h^{3}),
f(-h) = f(0) – f^{\prime}(0) h + \frac{f^{\prime \prime}(0)h^{2}}{2} + O(h^{3})$
Требуемое равенство будет выполнено, если $A, B, C$ удовлетворяют соотношениям: $A + B + C = 0, C - A = 1, C + A = 0$. Эти условия выполнены, если $A = - 1/2, B = 0, C = 1/2$.