2014-06-08
Пусть $f(x) = (1 – x + x^{2})/(1 + x + x^{2})$. Найти $f^{(s)}(0) (s = 1, 2, \cdots)$.
Решение:
При $|x| < 1$ имеем
$f(x) = 1 - \frac{2x}{1 +x + x^{2}} = 1 + \frac{2x^{2} – 2x}{1 – x^{3}} = 1 + (2x^{2} – 2x)(1 + x^{3} + x^{6} + \cdots) = 1 – 2x + 2x^{2} – 2x^{4} + 2 x^{5} – 2 x^{7} + 2x^{8} -$.
Мы получили разложение $f(x)$ в степенной ряд:
$f(x) = 1 + \sum_{s=1}^{\infty}a_{s}x^{s}$,
где $a_{s} = -2$, если $s = 3k – 2; a_{s} = 2$, если $s = 3k -1; a_{s} = 0$, если $s = 3k (k \in \mathbf{N})$. Следовательно,
$f^{(x)}(x) = \begin{cases} -2s!,& \text{если}\: s = 3k – 2,\\
2s!,& \text{если}\: s = 3k - 1,\\
0,& \text{если}\: s = 3k.
\end{cases}$