2014-06-08
а) Пусть функция $f(x) n$ раз непрерывно дифференцируема на отрезке $[a, b]$ и имеет на нем не менее $n$ нулей (с учетом кратности). Доказать, что
$max_{x \in [a,b]} |f(x)| \leq \frac{(b-a)^{n}}{n!} max_{x \in [a, b]} |f^{(n)}(x)|$.
б) Функция $f(x) \in C^{2} [0, 1]$ имеет не менее двух нулей на отрезке $[0, 1]$ (с учетом кратности) и, кроме того, $|f^{\prime \prime}(x)| \leq 1$ для всех $x \in [0, 1]$. Как велико может быть число
$max_{x \in [0, 1]} |f(x)|$?
Решение:
а) Докажем индукцией по $k \geq 0$ следующее утверждение.
Обобщенная теорема Ролля. Если $f \in C^{k}[a, b]$ и $f$ имеет не менее $(k + 1)$ нуля с учетом кратности на $[a, b]$, то $f^{(k)}$ имеет по крайней мере один нуль на $[a, b]$.
При $k = 0$ доказывать нечего. Пусть для $k – 1$ утверждение верно, проверим его для $k$. Пусть $x_{1}, \cdots, x_{l}$ - различные нули функции $f$ на $[a, b]$, имеющие кратности $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{l}$ соответственно, причем $\alpha_{1} + \cdots + \alpha_{l} \geq k + 1$ и $x_{1} < \cdots < x_{l}$. Тогда $f^{\prime}(x)$ имеет в точке $x_{j}$ нуль кратности $\alpha_{j} – 1$ (если $\alpha_{j} > 1$) и, кроме того, по теореме Ролля еще по крайней мере $l – 1$ нуль на интервалах $(\alpha_{j}, \alpha_{j+1}), j = 1, \cdots, l-1$.
Общее число нулей $f^{\prime}(x)$ на $[a, b]$ не меньше
$\sum_{j=1}^{l} (\alpha_{j} - 1) + l – 1 \geq k – l + 1 + l – 1 = k$.
Теперь остается применить предположение индукции для $k – 1$ к $f^{\prime}$. Теорема доказана.
Обозначим теперь через $x_{1}, \cdots, x_{n} n$ нулей функции $f(x)$ на $[a, b]$; при этом среди чисел $x_{1}, \cdots, x_{n}$ могут быть совпадающие, нуль $f$ может встречаться в этом наборе $s$ раз, если его кратность не меньше $s$. Пусть $x_{0}$ - произвольная точка из $[a, b]$, отличная от $x_{1}, \cdots, x_{n}$.
Рассмотрим многочлен степени $n$:
$P(x) = f(x_{0}) \frac{\prod_{j=1}^{n}(x – x_{j})}{\prod_{j = 1}^{n}(x_{0} – x_{j})}$
и положим $g(x) = f(x) – P(x)$. Функция $g(x)$ имеет своими нулями числа $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$, при этом если какое-то число $x_{j} (j \geq 1)$ входит в набор $\{ x_{1}, \cdots, x_{n} \} s$ раз, то кратность нуля $x_{j}$ не меньше $s$. Поэтому к функции $g(x)$ применима обобщенная теорема Ролля, согласно которой $g^{(n)}$ имеет хотя бы один нуль $x^{\prime}$ на $[a, b]$. Имеем
$0 = g^{(n)}(x^{\prime}) = f^{(n)}(x^{\prime}) – P^{(n)}(x^{\prime}) - \frac{n! f(x_{0})}{\prod_{j=1}^{n} (x_{3} – x_{j})}$,
откуда следует, что
$|f(x_{0})| = \frac{|f^{(n)}(x^{\prime})| \prod_{j =1}^{n} |x_{0} – x_{j}|}{n!} \leq \frac{|f^{(n)}(x^{\prime})| \cdot (b - a)^{n}}{n!} \leq \frac{(b - a)^{n}}{n!} max_{x \in [a, b]} |f^{(n)}(x)|$.
Так как $x_{0}$, произвольно, то
$max_{x \in [a,b]}|f(x)| \leq \frac{(b - a)^{n}}{n!} max_{x \in [a, b]} |f^{(n)}(x)|$.
б) В силу п. a) $max_{x \in [0, 1]} |f(x)| \leq 1/2$. Значение $1/2$ достигается, например, для $f(x) = x^{2}/2$.