2014-06-08
Функция $f$, дифференцируемая в точке $x_{0}$, называется выпуклой (вогнутой) в этой точке, если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$, что для любой точки $x \in U$ имеет место неравенство $f(x) \geq f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x – x_{0})$ (соответственно $f(x) \leq f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x – x_{0})$.
Доказать, что любая функция, дифференцируемая на отрезке, выпукла или вогнута хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка.
Решение:
Легко проверить, что свойства выпуклости и вогнутости функции в точке не изменяются при прибавлении к ней любой линейной функции, т. е. при любых $c$ и $d$ функция $f(x)$ выпукла (вогнута) в точке $x_{0}$ тогда и только тогда, когда функция $f(x) + cx + d$ выпукла (вогнута) в точке $x_{0}$.
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на отрезке $[a, b]$. Прибавим к функции $f(x)$ такую линейную функцию, чтобы получилась функция $g(x)$ с равными значениями на концах отрезка $g(x) = f(x) + \frac{f(a) – f(b)}{b-a}(x - a)$. Тогда функции $g(x)$ имеет хотя бы одну точку экстремума на интервале $(a, b)$. Но очевидно, что точка минимума является точкой выпуклости, а точка максимума - точкой вогнутости функции $g(x)$.
Значит, точка экстремума $g(x)$ на $(a, b)$ является и точкой выпуклости или вогнутости функции $f(x)$.