2014-06-08
Функции $f$ и $g$ непостоянны на интервале $(a, b)$. Для каждой точки $x \in (a, b)$ выполняются условия $f(x) + g(x) \neq 0, f(x)g^{\prime}(x) – f^{\prime}(x)g(x) = 0$. Доказать, что $g(x)$ отлична от нуля для всех $x \in (a, b)$ и отношение $f(x)/g(x)$ постоянно на $(a, b)$.
Решение:
Допустим, что $g(x_{1}) = 0$ в некоторой точке $x_{1} \in (a, b)$. Так как функция $g$ непостоянна на $(a, b)$, то $g(x_{2}) \neq 0$ в некоторой точке $x_{2} \in (a, b)$. Без ограничения общности можно считать, что $x_{2} > x_{1}$. Пусть $x_{3} = sup \{x: x \in [x_{1}, x_{2}], g(x)=0 \}$. Легко видеть, что $g(x_{3}) = 0$ и $g(x) \neq 0$ при $x \in (x_{3}, x_{3})$. Определим на этом промежутке функцию $h(x) = f(x)/g (x)$. Имеем
$h^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x)g(x) – f(x)g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)} = 0, x \in (x_{3}, x_{2}]$,
откуда $h(x) = const = f(x_{2})/g(x_{2})$ и $f(x) = g(x)f(x_{2})/g(x_{2})$ при $x \in (x_{3}, x_{2}]$. Переходя к пределу при $x \rightarrow x_{3}+$, получаем $f(x_{3}) = lim_{x \rightarrow x_{3} +} g(x) \frac{f(x_{2})}{g(x_{2})} = 0$, но это противоречит условию $f(x_{3}) + g(x_{3}) \neq 0$. Следовательно, функция $g(x)$ всюду отлична от нуля, а функция $h(x) = f(x)/g(x)$ определена и постоянна на всем интервале $(a, b)$, что и требовалось доказать.