2014-06-08
Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0, 1]$ и дифференцируема на интервале $(0, 1)$. Доказать, это если $f(0) = f(1) = 0$, то $f^{\prime}(x) = f(x)$ в некоторой точке $x \in (0, 1)$.
Решение:
Положим $g(x) = f(x) e^{-x}, x \in [0, 1]$. Так как $g(0) = g(1) = 0$, то по теореме Ролля $g^{\prime}(x) = 0$ в некоторой точке $x \in (0, 1)$. Но $g^{\prime}(x) = (f^{\prime}(x) – f(x)) e^{-x}$. Значит, $f(x) =f^{\prime}(x)$.