2014-06-08
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на $[0, 1], f^{\prime}(0) = 1$ и $f^{\prime}(1) = 0$. Доказать, что $f^{\prime}(x) = c$ в некоторой точке $c \in (0, 1)$.
Решение:
Рассмотрим функцию $g(x) = f(x) - x^{2}/2$. Она дифференцируема на $[0, 1]$, причем $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) – x$ при $x \in [0, 1]$. В частности, $g^{\prime}(0) = 1, g^{\prime}(1) = 1$. Отсюда следует, что функция $g$ не может достигать максимума на отрезке $[0, 1]$ в его концах. Значит, $g$ достигает максимума в некоторой точке $c \in (0, 1)$; при этом $g^{\prime}(x) = 0$, следовательно, $f^{\prime}(c) = c$.