2014-06-08
Дифференцируема ли в нуле функция $f(x) = \sqrt[3]{e^{x} – 1 – x - \frac{x^{2}}{2}}$? (Мы считаем, что $\sqrt[3]{-u} = - \sqrt[3]{u}$ при $u > 0$.)
Решение:
По формуле Тейлора
$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}) (x \rightarrow 0)$
Отсюда получаем
$f(x) = \sqrt[3]{x^{3}/6 + o(x^{3})} = \sqrt[3]{x^{3}/6 \cdot (1 + o(1))} = x \sqrt[3]{6} \cdot (1 + o(1)) = x/ \sqrt[3]{6} + o(x) (x \rightarrow 0)$.
Следовательно, $f$ дифференцируема в нуле и $f^{\prime}(0) = \frac{1}{\sqrt[3]{6}}$.