2014-06-08
Функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такова, что $|f(a) – f(b)| < |a - b|$ для любых $a \neq b$. Доказать, что если $f(f(f(0))) = 0$, то $f(0) = 0$.
Решение:
Условие на функцию $f$ запишем в таком виде:
$| f(a) - f(b)| \leq |a - b|$, (2)
причем равенство достигается только при $a = b$.
Обозначим $f(0) = x, f(x) = y$. Тогда $f(y) = 0$. Применяя (2), последовательно находим
$|x - 0| \geq |f(x) - f(0)| = |y – x| \geq |f(y) - f(x)| = |0 – y| \geq |f(0) - f(y)| = |x – 0|$.
Поэтому во всех промежуточных неравенствах стоят равенства откуда следует $x = y = 0$, т. е. $f(0)=0$.