2014-06-08
Число $y \in \mathbf{R}$ называется экстремальным значением функции $f$, если существует точка $x_{0}$ такая, что $f(x_{0}) = y$ и $x_{0}$ - точка локального максимума или минимума функции $f$. Доказать, что множество экстремальных значений непрерывной функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ не более чем счетно.
Решение:
Пусть $A$ - множество точек $x$, в которых $f$ достигает локального максимума, а $B$ - множество точек локального минимума. Нам нужно доказать, что множество $f(A) \bigcup f(B)$ не более чем счетно. Докажем, что каждое из множест $f(A), f(B)$ не более чем счетно. Для каждой точки $y \in f(A)$ найдется интервал $I_{y}$ с рациональными концами, на котором максимальное значение $f$ равно $y$. Очевидно, для различных $y \in f(A)$ интервалы $I_{y}$ совпадать не могут. Но интервалов с рациональными концами всего счетное множество. Поэтому и $f(A)$ не боле чем счетное множество. То, что $f(B)$ не более чем счетно, доказывается аналогично.