2014-06-08
Существует ли непрерывная функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такая, что при рациональном $x \: f(x)$ иррационально, а при иррациональном $x \: f(x)$ рационально?
Решение:
Не существует. Предположим противное, что существует непрерывная функция $f(x): \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такая, что при рациональном $f(x)$ иррационально, а при иррациональном $x f(x)$ рационально. Посмотрнм, каким может быть множество значений $f(x)$. Так как множество рациональных чисел счетно, то образ множества рациональных чисел не более чем счетный. Образ множества иррациональных чисел лежит во множестве рациональных чисел, т. е. опять-таки не более чем счетный. Итак, множество значений $f$ не более чем счетно. Но множество значений непрерывной функции является промежутком, который состоит из одной точки или континуума точек. Тем самым $f$ может принимать лишь одно-единственное значение. Однако это противоречит тому, что $f$ принимает как рациональные, так и иррациональные значения. Значит такой функции $f$ не существует.