2014-06-08
Построить функцию, непрерывную на $[0, 1]$ и имеющую в каждой точке $y$ образа либо 1, либо 3 прообраза, причем некоторая точка $y$ имеет 3 прообраза.
Решение:
График такой функции изображен на рис. Возьмем какую-либо строго монотонно возрастающую последовательность $\{ a_{2} \}_{n = - \infty}^{+\infty}$ такую, что $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 1, lim_{n \rightarrow - \infty} a_{n} = 0$, и определим $f(x)$ согласно следующим правилам: $f(f_{n}) = a_{n}$, на каждом отрезке $[a_{n}, a_{n+1}]$ график $f$ состоит из двух прямолинейных отрезков таких, что $f \left ( \frac{a_{n} + a_{n+1}}{2} \right ) = a_{n+2}$. Очевидно, построенная функлия $f$ непрерывно доопределяется в точках $0, 1: f(0) = 0, f(1) = 1$; в этих точках прообраз состоит из одной точки, а для любой другой точки $y \in (0, 1)$ прообраз и состоит из трех точек.