2014-06-08
Непрерывная функция $f(x)$ выпукла вниз и $f(0)=0$. Доказать, что при $x > 0$ функция $f(x)/x$ возрастает.
Решение:
Пусть $x_{2} > x_{1}$. Докажем, что $f(x_{2})/x_{2} \geq f(x_{1})/x_{1}$. Хорда, соединяющая точки $O$ и $A_{2}$ графика функции $y = f(x)$ (рис.), имеющее абсциссы 0 и $x_{2}$ соответственно, лежит выше графика по определению выпуклой вниз функции. В частности, она лежит выше точки $A_{1}$ графика, имеющей абсциссу $x_{1}$. Сравнивая угловые коэффициенты прямых $OA_{1}$ и $OA_{2}$ получим искомое утверждение.