2014-06-07
Для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ обозначим через $a_{n} \in \mathbf{Z}^{+}$ количество решений уравнения
$n^{2}+x^{2}=y^{2}$
в натуральных числах, больших $n$.
а) Доказать, что для любого числа $M$ неравенство $a_{n} > M$ справедливо хотя бы при одном значении $n \in \mathbf{N}$.
б) Верно ли, что $ lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}= \infty$?
Решение:
Каждой паре чисел $x, y \in \mathbf{N}$, удовлетворяющих уравнению $n^{2}=y^{2}-x^{2}$, соответствует пара чисел $p=y+x, q=y-x$, произведение которых равно $n^{2}$. Поэтому количество $a_{n}$ этих пар не превосходит количества различных натуральных делителей числа $n^{2}$. Следовательно, для всех простых чисел $n$ имеет место неравенство $a_{n} \leq 3$, поскольку при таких значениях $n$ число $n^{2}$ имеет ровно 3 натуральных делителя. Таким образом, на вопрос п. б) ответ отрицательный. Далее, каждой паре чисел $p, q$, имеющих одинаковую четность и удовлетворяющих равенству $pq=n^{2}$, соответствует пара чисел
$y=(p+q)/2,x=(p-q)/2$,
причем неравенство $x > n$ имеет место в том и только в том случае, если
$2x=p-q=n^{2}/q-q>2n$, т.е. $q < n/(1+\sqrt{2})$.
Для всех значении $n =3^{l} (l \in \mathbf{N})$ число $q$ имеет вид $3^{i} (I \in \mathbf{Z}^{+}$), а число $p=3^{2l-i}$ имеет ту же четность. При этом неравенство $3^{i} < 3^{l}/(l +\sqrt{2})$ выполняется для значений $i=0, 1, \cdots l-1$, поэтому $a_{n}=l$ откуда вытекает справедливость утверждения п. а).