2014-06-08
Пусть $f$ и $g$ - определенные на всей числовой прямой периодические функции. Известно, что $lim_{x \rightarrow + \infty} (f(x) - g(x)) = 0$. Доказать, что $f(x) equiv g(x)$.
Решение:
Основная трудность в задаче в том, что функция $f$ и $g$ могут иметь различные периоды. Пусть период функции $f$ равен $T$. Имеем $f(x) - g(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow + \infty, f(x + T) – g(x + T) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow + \infty$. Вычитая из второго соотношения первое и учитывая, что $f(x + T) – f(x) = 0$, получим, что при $x \rightarrow + \infty$.
$g(x + T) - g(x) \rightarrow 0$.
Но функция $h(x) =g(x + T) - g(x)$ периодическая, так как $g$ является периодической функцией. Очевидно, периодическая функция может иметь предел 0 на бесконечности, если только она тождественно равна нулю. Следовательно, $g(x + T) = g(x)$, т. е. функция $g$ также имеет период $T$. Положим теперь $h(x) = f(x) – g(x)$. Эта функция периодическая (с периодом $T$), стремится к нулю при $x \rightarrow + \infty$, следовательно, $h \equiv 0, f \equiv g$.