2014-06-08
Пусть $f(x)$ - непрерывная, строго возрастающая положительная функция на $(0, + \infty)$, причем $lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{xln(x)} = 1$. Обозначим через $\phi(x)$ функцию, обратную к $f(x)$, т. е. такую, что для каждого положительного $x \phi(f(x)) = x$.
Доказать, что
$ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\phi(x)}{x/ln(x)} = 1$.
Решение:
Из условия $f(x) \sim x ln x (x \rightarrow \infty)$ легко следует, что $ln f(x) \sim ln x + ln ln x \sim ln x$. Поэтому $f(x) \sim x ln x \sim x ln f(x), f(x)/ln f(x) \sim x$. Переобозначая $f(x) =y, x = \phi(x)$, получим $\phi(y) \sim y/lnx(y \rightarrow \infty)$.