2014-06-08
Пусть $f \in C[0, 1], f(0) = f(1) = 0$. Доказать, что найдутся точки $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ такие, что $f(x_{1}) = f(x_{2})$ и $x_{1} – x_{2}$ равно $\alpha$ или $1 - \alpha$, где $\alpha$ - данное число, $0 < \alpha < 1$.
Решение:
Продолжим функцию $f$ на всю числовую ось периодически с периодом 1. В силу условия $f(0) = f(1)$ продолженная функция, которую будем также обозначать $f$, является непрерывной. Докажем, что для некоторой точки $x \in \mathbf{R} f(x + \alpha) = f(x)$. Для этого рассмотрим функцию $g(x) = f(x + \alpha) - f(x)$. Имеем
$\int_{0}^{1}g(x)dx = \int_{\alpha}^{1 + \alpha}f(x)dx - \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{1}^{1+\alpha} f(x) dx - \int_{0}^{\alpha} f(x) dx = 0$
в силу периодичности $f$. Следовательно, функция $g$ обращается в нуль в какой-то точке $x \in [0, 1]$. Отсюда $f(x + \alpha) = f(x)$ в некоторой точке $x \in [0, 1]$. Если $x + \alpha \in [0, 1]$, то положим $x_{2} = x, x_{1} = x + \alpha$. Если $x + \alpha > 1$, то $x - (1 - \alpha) >0$ (и, конечно, $x - (1 - \alpha) <
< 1)$, так что положим $x_{1} = x, x_{2} = x - (1 - \alpha)$. В обоих случаях $f(x_{2}) = f(x_{2})$, а разность $x_{1} – x_{2}$ равна $\alpha$ или $1 - \alpha$.