2014-06-08
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция на $\mathbf{R}$, принимающая значения разных знаков. Доказать, что найдется арифметическая прогрессия $a, b, c (a < b < c)$ такая, что $f(a) + f(b) + f(c) = 0$.
Решение:
В некоторой точке $x \: f(x) > 0$, поэтому в окрестности этой точки найдется возрастающая арифметическая прогрессия $a_{0}, b_{0}, c_{0}$ такая, что $f(a_{0}) + f(b_{0}) + f(c_{0}) > 0$. Точно так же найдется возрастающая арифметическая прогрессия $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ такая, что $f(a_{1}) + f(b_{1}) + f(c_{1}) Б 0$. Для каждого значения параметра $t \in [0,1]$ рассмотрим арифметическую прогрессию $a(t), b(t), c(t)$, где $a(t) = a_{0}(1 - t) + a_{1}t, b(t) = b_{0}(1 - t) + b_{1}t, c(t) =c_{0}(1 - t) + c_{1}t$. Функция $F(t) = f(a(t)) + f(b(t)) + f(c(t))$ непрерывно зависит от $t$, при $t = 0 F(t) > 0$, а при $t = 1F(t) < 0$. Значит при некотором $t \: F(t) = 0$, и соответствующая прогрессия $a(t), b(t), c(t)$ является искомой