Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 555
2014-06-08 
Пусть $\phi(t)$ и $\psi(t)$ - монотонно убывающие взаимно-обратные функции на $(0, + \infty)$.
Может ли при всех $t > 0$ выполняться неравенство $\phi(t) > \psi(t)$?
Решение:
Каждая из функций $\phi(t), \psi(t)$ монотонно убывает от $+ \infty$ до 0, когда $t$ возрастает от 0 до $+ \infty$. Каждая из них является непрерывной. (Действительно, если, скажем, $\phi(t)$ разрывна в не которой точке, то в силу монотонности $\phi$ разрыв является разрывом 1-го рода, откуда следует, что областью определения обратной функции $\psi$ не может быть $(0, + \infty)$.) Поэтому найдется точка $t \in (0, + \infty)$ такая, что $\phi(t) = t$. Но тогда $\psi(\phi(t)) = \psi(t), t = \psi(t), \phi(t) = \psi(t)$. Тем самым неравенство $\phi(t) > \psi(t)$ не может выполняться при всех $t > 0$.
Пусть $\phi(t)$ и $\psi(t)$ - монотонно убывающие взаимно-обратные функции на $(0, + \infty)$.
Может ли при всех $t > 0$ выполняться неравенство $\phi(t) > \psi(t)$?
Решение:
Каждая из функций $\phi(t), \psi(t)$ монотонно убывает от $+ \infty$ до 0, когда $t$ возрастает от 0 до $+ \infty$. Каждая из них является непрерывной. (Действительно, если, скажем, $\phi(t)$ разрывна в не которой точке, то в силу монотонности $\phi$ разрыв является разрывом 1-го рода, откуда следует, что областью определения обратной функции $\psi$ не может быть $(0, + \infty)$.) Поэтому найдется точка $t \in (0, + \infty)$ такая, что $\phi(t) = t$. Но тогда $\psi(\phi(t)) = \psi(t), t = \psi(t), \phi(t) = \psi(t)$. Тем самым неравенство $\phi(t) > \psi(t)$ не может выполняться при всех $t > 0$.
