2014-06-08
Непрерывная функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такова, что для любой арифметической прогрессии $a, b, c, d$
$|f(a) – f(d)| \geq \pi |f(b) – f(c)|$.
Доказать, что $f \equiv const$.
Решение:
Пусть $x, y$ - произвольные точки на прямой, $x < y$. Построим последовательности $\{ x_{n} \}, \{ y_{n} \}$ следующим образом: точки $x_{n}, y_{n}$ получаются из $x$ и $y$ соответственно гомотетией с центром в $(x + y)/2$ и коэффициентом $3^{n}$. Из такого построения следует, что для любого $n$ четверка чисел $x_{n+1}, x_{n}, y_{n}, y_{n+1}$ образует арифметическую прогрессию. Следовательно,
$|f(x) – f(y)| \geq \pi |f(x_{n}) – f(y_{n})|$.
Индукцией по $n$ отсюда получим
$|f(x) – f(y)| \leq \pi^{-n} |f(x_{n}) - f(y_{n})|$. (1)
Пусть точки $x, y$ лежат в интервале $(- A, A)$, где $A > 0$. Найдем наибольшее $n$ такое, что $x_{n}, y_{n}$ лежат в интервале $(-2A, 2A)$. Тогда одна из точек $x_{n+1}, y_{n+1}$ не лежит в $(-2A, 2A)$, откуда легко следует, что $3^{n+1}(y - x)/2 > A, n > log_{3}(2A/(y - x)) – 1$. На отрезке $[-2A, 2A]$ функция $f$ ограничена, пусть $|f| \leq M$. Тогда из (1) имеем
$|f(x) – f(y)| \leq 2M \pi^{-n} \leq 2M \pi^{1 – log_{3}(2A/(y-x))}$,
Преобразовывая выражение справа, получим
$|f(x) – f(y)| \leq C |x - y|^{log_{3} \pi}$,
где $C = \frac{2 \pi M}{(2A)^{log_{3} \pi}}$. Так как $log_{3} \pi > 1$, то из этого неравенства легко следует $f^{\prime}(x) \equiv 0$ на $(-A, A)$ (см.
Задача по математике 564). Так как интервал $(-A, A)$ выбран произвольно, то $f^{\prime}(x) \equiv 0, f \equiv const$.
Заметим, что число $\pi$ в условии задачи можно заменить на любое число, большее 3. Условию же $|f(a) - f(d)| \geq 3|f(b) – f(c)|$ помимо константы удовлетворяет линейная функция (и множество других функций).