2014-06-08
Функция $f(x)$ определена на вещественной оси. Известно, что для любого $x$ и любого $h > 0$
$|f(x + h) – f(x-h)| < h^{2}$.
Доказать, что $f(x) \equiv const$.
Решение:
Переобозначая $ x- h$ через $x$, имеем
$|f(x+2h) - f(x)| leq h^{2}$.
Докажем, что функция $f$ дифференцируема и $f^{\prime}(x) \equiv 0$. Действительно, при $h > 0$
$\left | \frac{f(x + 2h) – f(x)}{2h} \right | \leq \frac{h^{2}}{2h} = \frac{h}{2} \rightarrow 0 (h \rightarrow 0+)$.
Точно так же
$\left | \frac{f(x - 2h) – f(x)}{2h} \right | \leq \frac{h}{2h} (h \rightarrow 0+)$.
Поэтому
$f^{\prime}(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} (f(x+ \Delta x) – f(x))/ \Delta x = 0, f \equiv const$.