2014-06-08
Какие из следующих функций на интервале (0, 1):
a) $f(x)= sgn (x - \frac{1}{2}$; б) $f(x) = \frac{1}{x}$, в) $f(x) = \sin \frac{1}{x}$ обладают свойством
$\forall x \in (0, 1) \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall y (|y – x| < \varepsilon, y \in (0,1) \Rightarrow |f(x) – f(y)| < \delta$?
Решение:
Указанное в условии свойство эквивалентно ограниченности функции $f(x)$ на интервале (0,1). Действительно, если $f(x)$ ограничена, то в качестве б можно взять (при любом $\varepsilon$) число $2 sup|f| + 1$. Наоборот, если $f$ обладает указанным в условии свойством, то положим $\varepsilon = 1$. Тогда для любого $y \in (0, 1) |f(x) – f(y)| < \delta$, откуда следует ограниченность $f$. Поэтому функции а), в) обладают данным свойством, а б) - нет.