2014-06-08
Пусть последовательность $\{ x_{n} \}$ действительных чисел такова, что для любого многочлена $P(x)$ второй степени с целыми неотрицательными коэффициентами выполнено равенство
$lim_{ n \rightarrow \infty } (x_{n} + x_{P(n)}) = 0$.
Следует ли отсюда, что $ lim_{ n \rightarrow \infty } x_{n} = 0$?
Решение:
Не следует. Рассмотрим последовательность
$x_{n} = \cos (\pi log_{2}log_{2}n), n >1$
($x_{1}$ произвольно). Покажем, что если $a \geq 1, b \geq 1, c \geq 0$ - целые числа, то $lim_{n \rightarrow \infty}(x_{n} + x_{an^{2}+bn + c}) = 0$. Для этого заметим, что при $n > 1$
$x_{n} + x_{n^{2}} = \cos (\pi log_{2} log_{2} n) + \cos (\pi log_{2} log_{2} n^{2}) = \cos (\pi log_{2}log_{2} n) + \cos (\pi log_{2}log_{2}n + \pi) = 0$,
и достаточно доказать, что $lim_{n \rightarrow \infty} (\cos( \pi log_{2} log_{2} (an^{2} + bn + c)) - \cos (\pi log_{2} log_{2} n + \pi) = 0$.
Последнее соотношение следует из того, что при $n \geq 2$
$| \cos (\pi log_{2} log_{2} (an^{2} + bn + c)) - \cos (\pi log_{2} log_{2} n^{2})| \leq |\pi log_{2} log_{2} (an^{2} + bn + c) - \pi log_{2} log_{2} n^{2}| \leq \pi |log_{2} log_{2} ((a + b + c) n^{2}) – log_{2} log_{2} n^{2}| \leq \pi| log_{2} (2 log_{2} n + log_{2}(a + b + c)) – log_{2} (2 log_{2} n)| = \pi \left | log_{2} \left ( 1 + \frac{log_{2}(a + b + c)}{2 log_{2}n} \right ) \right | \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$.
(Мы воспользовались тем, что $| \cos x - \cos y| \leq |x – y|$ при любых $x$ и $y$.)
В то же время $lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq 0$, ибо $|x_{n}| = 1$ при $n = 2^{2^{k}}, k \in \mathbf{N}$.