2014-06-08
Ограниченная последовательность действительных чисел $\{ x_{n} \}$ удовлетворяет условию $lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} – 2x_{n+1} + x_{n+2}) = 0$. Доказать, что $lim_{ n \rightarrow \infty } (x_{n} – x_{n+1}) = 0$.
Решение:
Если $\overline{lim}_{n \rightarrow \infty} (x_{n} – x_{n+1}) > a > 0$, то для некоторой возрастающей последовательности $\{ n_{k} \} x_{n_{k}} – x_{n_{k} + 1} > a$. Из условия $lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} – 2 x_{n+1} + x_{n+2}) = 0$ следует, что для произвольного $N$ и $n > n(N)$ выполняется неравенство $(x_{n} – x_{n+1}) - (x_{n+1}- x_{n+2}) < a/N$, откуда при $n_{k} > n(N)$
$x_{n_{k}+1} – x_{n_{k}+ 2} > (x_{n_{k}} – x_{n_{k} + 1}) - \frac{a}{N} > a \frac{N- 1}{N}$
$x_{n_{k}+2} – x_{n_{k}+ 3} > (x_{n_{k} + 1} – x_{n_{k} + 2}) - \frac{a}{N} > a \frac{N- 2}{N}$
$\cdots$
$x_{n_{k}+N-1} – x_{n_{k}+ N} > \frac{a}{N}$
Складывая эти неравенства, получаем
$x_{n_{k}} – x_{n_{k} + N} > a \left ( 1 + \frac{N-1}{N} + \cdots + \frac{1}{N} \right ) > \frac{N}{2}a$.
Так как $N$ произвольно, то это противоречит ограниченности $\{ x_{n} \}$. Аналогично приводит к противоречию предположение
$lim_{\overline{n \rightarrow \infty}} (x_{n} – x_{n+1}) < 0$. Значит, $\overline{lim}_{n \rightarrow \infty} (x_{n} – x_{n+1}) \leq 0$ и $ lim_{\overline{n \rightarrow \infty}} (x_{n} – x_{n+1}) \geq 0$, т. е. $lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} – x_{n+1}) = 0$.