2014-06-08
Пусть $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ - последовательности действительных чисел и $\overline{lim}_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \overline{lim}_{n \rightarrow \infty} b_{n} = \infty$. Доказать, что найдутся такие $m$ и $n$, что $| a_{m} – a_{n}| > 1$ и $|b_{m} – b_{n}| > 1$.
Решение:
Возьмем такие $n_{1}$ и $n_{2}$, что $|a_{n_{1}} – a_{n_{2}}| > 2$, и такое $n_{3}$, что $| b_{n_{1}} – b_{n_{2}}| > 1, | b_{n_{2}} – b_{n_{3}}| > 1$. Если $|a_{n_{1}} – a_{n_{2}}| > 1$, то для решения задачи достаточно положить $n = n_{1}, m = n_{3}$; если же $|a_{n_{1}} – a_{n_{2}}| \leq 1$, то $|a_{n_{2}} – a_{n_{3}}| > |a_{n_{1}} – a_{n_{2}}| - |a_{n_{1}} – a_{n_{3}}| > 1$, и можно взять $n = n_{2}, m = n_{3}$.