2014-06-08
Последовательность $\{ x_{n} \}$ обладает свойством: $|x_{n} – x_{m}| > 1/n$ для любых $n < m$. Доказать, что последовательность неограниченна.
Решение:
Предположим противное: существует такое $M$, что $|x_{n}| \leq M$ для всех $n$. Окружим каждую точку $x_{n}$ окрестностью радиуса $1/(2n)$. По условию эти окрестности не пересекаются, а поскольку все они принадлежат интервалу $(- m - 1/2, M + 1/2)$, то сумма длин их не больше $2M + 1$. С другой стороны, сумма длин первых $N$ окрестностей равна
$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \rightarrow \infty (N \rightarrow \infty)$.
Противоречие.