2014-06-08
Имеется $n$ положительных чисел $a_{1}, \cdots, a_{n}$, причем $a_{1} = 1, a_{n} = 2$ и $a_{k} \leq \sqrt{a_{k-1}a_{k+1}}$ при $k = 2, 3, \cdots, n-1$. Найти $max_{1 \leq k \leq n} a_{k}$.
Решение:
Покажем, что если числа $a_{1}, \cdots , a_{n}$ положительны и $a_{k} \leq \sqrt{a_{k-1}a_{k+1}}$ при $2 \leq k \leq n -1$, то $max_{k = 1, \cdots, n} a_{k} = max (a_{1}, a_{n})$ (а значит, в нашем случае $max_{k = 1, \cdots, n} a_{k} = 2$).
Допустим, что $max_{1 \leq k \leq n} a_{k} = a_{l}, 1 < l < n, a_{l} > a_{1}, a_{l} > a_{n}$. Тогда по условию
$a_{l}^{2} \leq a_{l-1}a_{l+1} \leq max_{1 \leq k \leq n} a_{k} \cdot max_{a \leq k \leq n} a_{k} = a_{l}^{2}$,
откуда $a_{l-1} = max_{1 \leq k \leq n} a_{k} = a_{l}$. Если $l – 1 > 1$, то аналогичным образом получаем $a_{l-1} = a_{l-2}$ и т. д. В итоге будем иметь
$a_{l} = a_{l-1} = a_{l-2} = \cdots = a_{1}$,
что противоречит предположению $a_{l} > a_{1}$.