2014-06-08
Пусть $\{ a_{n} \}$ - непериодическая последовательность, составленная из нулей, единиц и двоек. Построим две последовательности $\{ b_{n} \}$ и $\{ c_{n} \}$ следующим образом:
$b_{n} = 0$, если $a_{n} = 0$; $b_{n} = 1$, если $a_{n} = 1$ или $a_{n} = 2$;
$c_{n} = 1$, если $a_{n} = 2$; $c_{n} = 0$, если $a_{n} = 0$ или $a_{n} = 1$;
Доказать, что хотя бы одна из последовательностей $\{ b_{n} \}$ и $\{ c_{n} \}$ непериодична.
Решение:
Заметим, что $a_{n} = b_{n} + c_{n}$. Если $b_{n}$ и $c_{n}$ периодичны, то у них есть общий период, а значит, $a_{n}$ периодична. Противоречие.