2014-06-08
Множество натуральных чисел разбито на два бесконечных подмножества $A$ и $B$. Доказать, что для любого $c > 0$ существуют последовательности $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ такие, что $\{ a_{n} \} \subset A, \{ b_{n} \} \subset B, \{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ возрастают и $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c$.
Решение:
Если $c = 1$, то утверждение очевидно: так как А и В бесконечны, то можно найти такую возрастающую последовательность $\{ a_{n} \}$, что $a_{n} \in A, a_{n+1} \in B$, и положить $b_{n} = a_{n} + 1$.
Пусть $c > 1$. Определим множества $A_{1}$ и $B_{1}$ следующим образом: $A_{1} = \{ x \in \mathbf{R}: [x] \in A \}, B_{1} = \{ x \in \mathbf{R} : [x] \in B \}$. Имеем $A_{1} \bigcap B_{1} = \varnothing, A_{1} \bigcup B_{1} = [1, \infty)$,
Докажем, что для любого $\varepsilon > 0$ существуют такие элементы $a = a(\varepsilon) \in A_{1}$ и $b = b(\varepsilon) \in B_{1}$, что $b > 1/ \varepsilon$ и $| a/b - c| < \varepsilon$. Предположим, что при некотором $\varepsilon > 0$ это неверно. Так как $B$ бесконечно, то найдется элемент $b_{0} \in B$ такой, что $b_{0}>1/ \varepsilon$. Рассмотрим последовательность множеств $E_{0}, E_{1}, \cdots$, где
$E_{n} = [b_{0}c^{n}, b_{0}(c+ \varepsilon)^{n}]$.
Покажем индукцией по $n$, что $E_{n} \subset B_{1}$.
При $n=0$ это верно, так как $E_{0} = \{ b_{0} \} \subset B \subset B_{1}$. Пусть это справедливо при $n – 1$ и $b^{\prime}$ - произвольный элемент $E_{n}$. Тогда найдется такой элемент $b^{\prime \prime} \in E_{n-1}$, что $c \leq b^{\prime}/b^{\prime \prime} \leq c + \varepsilon$. (Можно положить, например, $b^{\prime \prime} = \sqrt[n]{b_{0}(b^{\prime})^{n-1}}$). По предположению индукции $b^{\prime \prime} \in B_{1}$. Если бы $b^{\prime}$ принадлежало $A_{1}$, то мы имели бы $b^{\prime \prime} \in B_{1}, b^{\prime} \in A_{1}, |b^{\prime}/b^{\prime} - c| \leq \varepsilon, b^{\prime \prime} > 1/ \varepsilon$, что противоречит нашему допущению. Значит, $b^{\prime} \in B_{1}$. Так как $b^{\prime}$ - произвольный элемент $E_{n}$, то $E_{n} \subset B_{1}$.
Пусть $n_{0}$ - столь большое натуральное число, что
$\left ( \frac{c+\varepsilon}{c} \right )^{n_{0}} > c$.
Докажем, что если $b \geq b_{0} c^{n_{0}}$, то $b \in E_{n}$ при некотором $n$. В самом деле, положим $n = \left [ \frac{ln (b/b_{0})}{ln c} \right ]$. Тогда $n \geq n_{0}, b_{0}c^{n} \leq b < b_{0}c^{n+1}$. Но
$c^{n+1} = c^{n}c \leq c^{n} \left (\frac{c + \varepsilon}{c} \right )^{n_{0}} \leq c^{n} \left ( \frac{c + \varepsilon}{c} \right )^{n} = (c + \varepsilon)^{n}$
и, значит, $b \in E_{n}$. Мы видим, что
$[b_{0}c^{n_{0}}, \infty) \subset \bigcup_{n = n_{0}}^{\infty} E_{n} \subset B_{1}$,
$A_{1} = [1, \infty ) \backslash B_{1} \subset [1, b_{0}c^{n_{0}}$,
но это противоречит бесконечности множества $A$.
Итак, для любого $\varepsilon > 0$ найдутся $a( \varepsilon ) \in A_{1}$ и $b(\varepsilon) \in B_{1}$ такие, что $b > 1/ \varepsilon$ и $|a/b - c| \leq \varepsilon$. Отсюда следует существование последовательностей $\{ a_{n}^{\prime} \}$ и $\{ b_{n}^{\prime} \}$ со свойствами
$a_{n}^{\prime} \in A_{1}, b_{n}^{\prime} \in B_{1}, b_{n+1}^{\prime} – b_{n}^{\prime} \geq 1, a_{n}^{\prime}/b_{n}^{\prime} \rightarrow c (n \rightarrow \infty) $.
Полагая $a_{n} = [a_{n}^{\prime}]$ и $b_{n} = [b_{n}^{\prime}]$, мы получаем искомые последовательности $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$.
Случай $c < 1$ сводится к только что разобранному: соотношение $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c$ следует переписать в виде $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = \frac{1}{c} $ и воспользоваться тем, что $1/c > 1$.