2014-06-07
Доказать, что уравнение
$x^{3}+3y^{3}+9z^{3}-9xyz=0$
в рациональных числах имеет единственное решение $x=y=z=0$.
Решение:
Заметим, что если набор чисел $x, y, z$ является решением исходного уравнения, то любой набор чисел $tx, ty, tz$, где $t \in \mathbf{Q}$, также является решением. Поэтому, если некоторый ненулевой набор (т.е. не совпадающий с набором $x = y = z =0$) рациональных чисел
$x=m/n,y=l/k,z=p/q$,
где $m, l, p \in \mathbf{Z}$ и $n, k, q \in \mathbf{N}$, удовлетворяет уравнению, то ненулевой набор целых чисел
$x_{1}=t_{1}x, y_{1}=t_{1}y, z_{1}=t_{1}z $, где $t_{1}=nkq$,
также удовлетворяет уравнению. Пусть $d$ - наибольший общий делитель чисел $x_{1}, y_{1}, z_{1}$, тогда набор целых чисел
$x_{2}=t_{2}x_{1}, y_{2}=t_{2}y_{1}, z_{2}=t_{2}z_{1} $, где $t_{2}=1/d$,
также удовлетворяет уравнению, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Из уравнения случаем, что число
$x^{3}_{2}=3(-y^{3}_{2}-3z^{3}_{2}+3x_{2}y_{2}z_{2})$
делится на 3, поэтому $x_{2}=3x_{3} (x_{2} \in \mathbf{Z})$. Далее,
$y^{3}_{2}+3z^{3}_{2}+9x^{3}_{3} - 9 y_{2}z_{2}x_{3}=0$,
т.е. набор значений $x=y_{2}, y = z_{2}, z =x_{3}$ также удовлетворяет уравнению. Поэтому $y_{2} = 3y_{3} (y_{3} \in \mathbf{Z})$ и набор значений $ x =z_{2}, y = x_{3}, z = y_{3}$ также удовлетворяет уравнению, откуда $z_{2} = 3z_{3}(z_{3} \in \mathbf{Z})$. Таким образом, каждое из чисел $x_{2},y_{2},z_{2}$ делится на 3, что противоречит выбору этих чисел. Утверждение задачи доказано.