2014-06-08
Последовательности $\{ p_{n} \}$ и $\{ q_{n} \}$ заданы следующим образом:
$p_{-1} = 0, q_{-1}=1, p_{0} = q_{0} = 1$,
$p_{n} = 2p_{n-1} + (2n-1)^{2}p_{n-2}$,
$q_{n} = 2q_{n-1} + (2n - 1)^{2} q_{n-2}$, при $n \geq 1$. Доказать, что $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{\pi}{4}$.
Решение:
Индукцией по $n$ легко показать, что при $n = 0, 1, \cdots$
$q_{n} = \prod_{k=0}^{n}(2k+1)$,
$p_{n} = p_{n-1} (2n+1) + (-1)^{n} \prod_{k=0}^{n-1} (2k+1)$.
Отсюда следует, что
$\frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{p_{n-1}(2n+1)}{q_{n}} + \frac{(-1)^{n} \prod_{k=0}^{n-1} (2k+1)}{q_{n}} = \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} + \frac{(-1)^{n}}{2n+1}$,
$\frac{p_{n}}{q_{n}} = 1 - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n}}{2n+1}$,
и, таким образом, $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n}}{q_{n}}$ существует и равен сумме условно сходящегося ряда $1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots$.
Для вычисления последнего вспомним разложение $arctg \: x$ в ряд Тейлора: $arctg \: x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} + \cdots + \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)} x^{2n+1} + \cdots, x \in [-1;1]$. Подставляя значение $x = 1$, получим
$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = arctg \: 1 = \frac{\pi}{4}$.