2014-06-07
Решить уравнение $x^{2}+y^{2}=3z^{2}$ в целых числах.
Решение:
Набор чисел $x=y=z=0$ является решением уравнения. Предположим, что уравнение имеет и другие решения. Выберем среди них тот набор чисел $x, y, z$, для которого величина
$\alpha = |x| +|y| +|z|$
принимает наименьшее (натуральное) значение. Заметим, что для любого значения $n \in \mathbf{Z}$ справедливо следующее: либо $n=2k(k \in \mathbf{Z})$, тогда
$n^{2} = 4k^{2} \equiv 0 (\mod 4)$,
либо $n = 2k+1$, тогда
$n^{2}=4k^{2}+4k+1 \equiv 1 (\mod 4)$.
Поэтому остаток от деления на 4 числа $x^{2}+y^{2}$ (равный либо 0, либо 1, либо 2) совпадает с остатком от деления на 4 числа $3z^{2}$ (равным либо 0, либо 3) только в том случае, если каждое из чисел $x, y, z$ является четным, т. е.
$x=2x_{1}, y=2y_{1}, z=2z_{1}$, где $x_{1},y_{1},z_{1} \in \mathbf{Z}$.
Так как
$x^{2}+y^{2}=3z^{2}$, то $ x^{2}_{1}+y^{2}_{1}=3z^{2}_{1}$,
причем величина
$\alpha_{1} = |x_{1}| +|y_{1}| +|z_{1}|$
удовлетворяет условиям $0 < \alpha_{1}= \alpha/2 < \alpha$, что противоречит выбору набора чисел $x, y, z$. Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение $x = y = z = 0$.