2021-07-28
В треугольнике $ABC$ высота $BD$ равна 6, медиана $CE$ равна 5, расстояние от точки пересечения отрезков $BD$ и $CE$ до стороны $AC$ равно 1. Найдите сторону $AB$.
Решение:
Пусть $K$ - точка пересечения отрезков $BD$ и $CE$, $P$ - точка пересечения прямой $CE$ с прямой, проведённой через вершину $B$ параллельно $AC$. Из равенства треугольников $PBE$ и $CAE$ следует, что $BP=AC$, а из подобия треугольников $PKB$ и $CKD$ -
$DC=\frac{1}{5}BP=\frac{1}{5}AC,~KC=\frac{1}{6}CP=\frac{1}{6}\cdot10=\frac{5}{3}.$
Из прямоугольного треугольника $KDC$ находим, что
$DC=\sqrt{KC^{2}-KD^{2}}=\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-1}=\frac{4}{3}.$
Поэтому
$AC=BP=5DC=\frac{20}{3},~AD=\frac{4}{5}AC=\frac{16}{3}.$
Из прямоугольного треугольника $ADB$ находим, что
$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^{2}+6^{2}}=\sqrt{\frac{580}{9}}=\frac{2\sqrt{145}}{3}.$