2021-07-28
Равнобедренные треугольники $ABC$ $(AB=BC)$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ $(A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1})$ подобны и $AB:A_{1}B_{1}=2:1$. Вершины $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ расположены соответственно на сторонах $CA$, $AB$ и $BC$, причём $A_{1}B_{1}$ перпендикулярно $AC$. Найдите угол $ABC$.
Решение:
Пусть $A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=x$, $\angle BAC=\alpha$. Поскольку треугольники $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ подобны, то их соответствующие углы равны. Поэтому $\angle B_{1}A_{1}C_{1}=B_{1}A_{1}C_{1}=\alpha$. Тогда
$\angle C_{1}A_{1}C=90^{\circ}-\angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}-\alpha.$
Поэтому
$\angle A_{1}C_{1}C=90^{\circ},~AA_{1}=A_{1}B_{1}ctg\alpha=xctg\alpha,$
$A_{1}C_{1}=2x\cos\alpha,~A_{1}C=\frac{A_{1}C_{1}}{\sin\alpha}=\frac{2x\cos\alpha}{\sin\alpha}=2xctg\alpha.$
Тогда
$AC=AA_{1}+A_{1}C=3x\cdot ctg\alpha,$
а т.к. $AC=2A_{1}C_{1}$, то $3ctg\alpha=4\cos\alpha$.
Из этого уравнения находим, что
$\sin\alpha=\frac{3}{4},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}.$
Тогда
$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=-\frac{1}{8},$
$\cos\angle ABC=\cos(180^{\circ}-2\alpha)=-\cos2\alpha=\frac{1}{8}.$