2021-07-28
В равнобедренном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ находятся на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $AM=5$, $AN=2\sqrt{37}$, $CM=11$, $CN=10$.
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - проекции точек $M$ и $N$ на $AC$. Обозначим $AP=x$. Тогда из подобия треугольников $NQC$ и $MPA$ получим, что $QC=2x$. Выразим $NQ^{2}$ по теореме Пифагора из треугольников $NQC$ и $NQA$:
$NQ^{2}=NC^{2}-CQ^{2}=AN^{2}-AQ^{2}.$
Отсюда находим, что
$AQ=\sqrt{AN^{2}+CQ^{2}-NC^{2}}=\sqrt{148+4x^{2}-100}=\sqrt{48+4x^{2}}.$
Аналогично $CP=\sqrt{96+x^{2}}$. Поскольку
$CP-AQ=(AC-x)-(AC-2x)=x,$
то
$\sqrt{96+x^{2}}-\sqrt{48+4x^{2}}=x.$
Решив это уравнение, получим что $x=2$. Тогда
$PC=10,~AC=12,~BC=15,$
высота треугольника $ABC$, проведённая из вершины $B$, равна $\sqrt{15^{2}-6^{2}}=3\sqrt{21}$. Следовательно,
$S_{\Delta ABC}=6\cdot3\sqrt{21}=18\sqrt{21}$