2021-07-28
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $\angle ACP=\angle PCQ=\angle QCB$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что $4CP=3\sqrt{3}CQ$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - проекции точек $P$ и $Q$ на $BC$. Обозначим $CQ=x$, $CP=\frac{3x\sqrt{3}}{4}$. Поскольку $\angle NCQ=\angle MPC=30^{\circ}$, то
$QN=\frac{x}{2},~PM=CP\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9x}{8},$
$CM=\frac{1}{2}CP=\frac{3x\sqrt{3}}{8},~CN=\frac{x\sqrt{3}}{2},$
$MN=CN-CM=\frac{x\sqrt{3}}{2}-\frac{3x\sqrt{3}}{8}=\frac{x\sqrt{3}}{8}.$
Из подобия треугольников $QNB$ и $PMB$ находим, что $BN=\frac{4}{9}BM$. Тогда
$BN=\frac{4}{5}MN=\frac{x\sqrt{3}}{10}.$
Следовательно,
$tg\angle B=\frac{QN}{NB}=\frac{5}{\sqrt{3}}.$