2021-07-28
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $K$ и $L$ так, что $AK=KL=LB$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что $CK=\sqrt{2}CL$.
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - проекции точек $K$ и $L$ на прямую $BC$. Обозначим $BC=a$, $CL=x$, $CK=x\sqrt{2}$. Тогда
$CP=PQ=QB=\frac{a}{3},$
$KP=\sqrt{CK^{2}-CP^{2}}=\sqrt{2x^{2}-\frac{a^{2}}{9}},~LQ=\sqrt{CL^{2}-CQ^{2}}=\sqrt{x^{2}-\frac{4a^{2}}{9}}.$
Поскольку $KP=2LQ$, то
$\sqrt{2x^{2}-\frac{a^{2}}{9}}=2\sqrt{x^{2}-\frac{4a^{2}}{9}}.$
Из этого уравнения находим, что $x^{2}=\frac{5a^{2}}{6}$. Тогда
$AC=3LQ=3\sqrt{x^{2}-\frac{4a^{2}}{9}}=3\sqrt{\frac{5a^{2}}{6}-\frac{4a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{2}}.$
Следовательно,
$tg\angle B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}.$