2021-07-28
Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ равна 2, $\angle BAD=45^{\circ}$. Точки $E$ и $F$ расположены на диагонали $BD$, причём $\angle AEB=\angle CFD=90^{\circ}$, $BF=\frac{3}{2}BE$. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Обозначим $EF=x$. Тогда $BE=2x$. Поскольку прямоугольные треугольники $ABE$ и $CDF$ равны, то $FD=2x$. По теореме Пифагора
$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=2\sqrt{1-x^{2}},$
$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{4-4x^{2}+9x^{2}}=\sqrt{4+5x^{2}}.$
Если $BK$ - высота треугольника $ABD$, то
$BK=AB\sin45^{\circ}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$
Поскольку $AD\cdot BK=BD\cdot AE$, то
$\sqrt{4+5x^{2}}\cdot\sqrt{2}=5x\cdot2\sqrt{1-x^{2}}.$
Возведя обе части этого уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим биквадратное уравнение
$50x^{4}-45x^{2}+4=0.$
Отсюда находим, что $x^{2}=\frac{4}{5}$ или $x^{2}=\frac{1}{10}$. Но $x^{2}=\frac{4}{5}$ не удовлетворяет условию задачи, т.к. в этом случае $AD=2\sqrt{2}$, $BD=2\sqrt{5}$. Поэтому $AB+AD\lt BD$, что невозможно.
Если же $x^{2}=\frac{1}{10}$, то $AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $BD=\frac{\sqrt{10}}{2}$ и $AB+BD\gt AD$ ($AD$ - наибольшая сторона треугольника $ABD$). Следовательно,
$S_{ABCD}=AD\cdot BK=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=3.$