2021-07-28
Трапеция $AEFG$ ($EF\parallel AG$) расположена в квадрате $ABCD$ со стороной 14 так, что точки $E$, $F$ и $G$ лежат на сторонах $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Диагонали $AF$ и $EG$ перпендикулярны, $EG=10\sqrt{2}$. Найдите периметр трапеции.
Решение:
Пусть $M$ - точка пересечения диагоналей трапеции, $P$ - проекция точки $E$ на сторону $CD$ квадрата. Из равенства прямоугольных треугольников $ABF$ и $EPG$ следует, что $AF=EG$. Поэтому трапеция $AEFG$ - равнобедренная. По теореме Пифагора
$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{200-196}=2.$
Поскольку из точек $B$ и $M$ отрезок $EF$ виден под прямым углом, то эти точки лежат на окружности с диаметром $EF$, поэтому
$\angle MBF=\angle MEF=45^{\circ}.$
Следовательно, диагональ $BD$ квадрата проходит через точку $M$.
Из подобия треугольников $BMF$ и $DMA$ следует, что
$\frac{FM}{AM}=\frac{BF}{AD}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}.$
Поэтому
$FM=\frac{1}{8}AF=\frac{5\sqrt{2}}{4},~EF=FM\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot\sqrt{2}=\frac{5}{2},~AG=7EF=\frac{35}{2}.$
Обозначим $\angle BAF=\alpha$. Тогда
$tg\alpha=\frac{BF}{AB}=\frac{1}{7},~\cos\alpha=\frac{7}{5\sqrt{2}},$
$FG=AE=\frac{AM}{\cos\alpha}=\frac{35\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{7}=\frac{25}{2}.$
Следовательно, периметр трапеции $AEFG$ равен
$AG+EF+2AE=\frac{35}{2}+\frac{5}{2}+25=45.$