2021-07-28
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ равно 4, основание $BC$ равно 3, стороны $AB$ и $CD$ равны. Точки $M$ и $N$ лежат на диагонали $BD$, причём точка $M$ расположена между точками $B$ и $N$, а отрезки $AM$ и $CN$ перпендикулярны диагонали $BD$. Найдите $CN$, если $\frac{BM}{DN}=\frac{2}{3}$.
Решение:
Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Из подобия треугольников $BOC$ и $DOA$ следует, что
$\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{3}{4},$
а из подобия треугольников $CON$ и $AOM$ -
$\frac{ON}{OM}=\frac{CN}{AM}=\frac{CO}{OA}=\frac{BO}{OD}=\frac{3}{4}.$
Обозначим $BM=2x$, $DN=3x$, $ON=3y$, $OM=4y$.
Поскольку $\frac{BO}{OD}=\frac{3}{4}$, то
$\frac{2x+4y}{3y+3x}=\frac{3}{4}.$
Отсюда находим, что $x=7y$. Тогда
$AO=OD=3y+3x=24y,~DM=3x+3y+4y=28y.$
Из прямоугольного треугольника $AMD$ находим, что
$AD^{2}=AM^{2}+DM^{2}=AO^{2}-OM^{2}+DM^{2}=(24y)^{2}-(4y)^{2}+(28y)^{2}=16y^{2}(6^{2}-1+7^{2})=16\cdot84y^{2}.$
Из уравнения $16\cdot84y^{2}=16$ находим, что $y^{2}=\frac{1}{84}$. Тогда
$AM^{2}=(24y)^{2}-(4y)^{2}=16\cdot35y^{2}=16\cdot\frac{35}{84}=\frac{20}{3}.$
Поэтому $AM=2\sqrt{\frac{5}{3}}$. Следовательно,
$CN=3\cdot\frac{1}{4}AM=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.$