2021-07-28
В равнобедренной трапеции $ABCD$ большее основание $AD=12$, $AB=6$. Найдите расстояние от точки $O$ пересечения диагоналей до точки $K$ пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.
Решение:
Пусть $P$ - середина основания $AD$. Тогда $KP$ - высота треугольника $AKD$. Точки $O$ и $M$ (середина основания $BC$) лежат на отрезке $KP$. Поскольку $\angle KAP=45^{\circ}$, то
$KP=AP=\frac{1}{2}AD=6,$
$KB=AK-AB=6\sqrt{2}-6=6(\sqrt{2}-1),$
$BC=KB\sqrt{2}=6\sqrt{2}(\sqrt{2}-1).$
Поэтому
$\frac{BC}{AD}=\frac{6\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{12}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}},~\frac{OP}{OM}=\frac{AD}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}.$
Следовательно,
$OP=\frac{MP\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}=\frac{6}{2\sqrt{2}-1}=\frac{6(2\sqrt{2}+1)}{7},$
$KO=KP-OP=6-\frac{6(2\sqrt{2}+1)}{7}=\frac{6(6-2\sqrt{2})}{7}=\frac{12(3-\sqrt{2})}{7}.$