2021-07-28
Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей, если длины оснований трапеции равны $a$ и $b$.
Решение:
Пусть $AD=b$ и $BC=a$ $(b\gt a)$ основания трапеции $ABCD$, $P$ - точка пересечения прямых $AB$ и $CD$, $M$ и $N$ - точки пересечения прямых $DB$ и $AC$ с прямой, проходящей через точку $P$ параллельно основаниям трапеции.
Из подобия треугольников $BPC$ и $APD$ следует, что
$\frac{PC}{PD}=\frac{BC}{AD}=\frac{a}{b},$
а из подобия треугольников $PCN$ и $DCA$ -
$\frac{PN}{AD}=\frac{PC}{CD}=\frac{a}{b-a}.$
Отсюда находим, что
$PN=AD\cdot\frac{a}{b-a}=\frac{ab}{b-a}.$
Аналогично $MP=\frac{ab}{b-a}$. Следовательно,
$MN=PN+MP=\frac{2ab}{b-a}.$
Если $a\gt b$, то $MN=\frac{2ab}{a-b}$.