2021-07-28
В трапеции $ABCD$ сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$. Точка $E$ - середина стороны $CD$. Найдите отношение $AD:BC$, если $AE=2AB$ и $AE$ перпендикулярно $CD$.
Решение:
Обозначим $AB=x$, $CE=DE=t$. Пусть $K$ - проекция вершины $C$ на основание $AD$. Тогда
$CK=AB=x,~AE=2x,~AC=AD=\sqrt{4x^{2}+t^{2}}.$
Из подобия треугольников $CKD$ и $AED$ следует, что
$\frac{CK}{CD}=\frac{AE}{AD}$, или $\frac{x}{2t}=\frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+t^{2}}}.$
Из этого уравнения находим, что $t=\frac{2x}{\sqrt{15}}$. Тогда
$AD=AC=\sqrt{4x^{2}+\frac{4x^{2}}{15}}=\frac{8x}{\sqrt{15}},$
$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4x^{2}+t^{2}-x^{2}}=$
$=\sqrt{3x^{2}+t^{2}}=\sqrt{3x^{2}+\frac{4x^{2}}{15}}=\frac{7x}{\sqrt{15}}.$
Следовательно, $\frac{AD}{BC}=\frac{8}{7}$.