2021-07-28
В равнобедренном треугольнике $ABC$ точки $D$ и $E$ делят боковые стороны в отношении $BD:DA=BE:EC=n$. Найдите углы треугольника, если $AE$ перпендикулярно $CD$.
Решение:
Поскольку треугольник $ABC$ - равнобедренный, то $ADEC$ - равнобедренная трапеция.
Пусть $K$ - точка пересечения её диагоналей. Треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$ (с коэффициентом $\frac{n}{n+1}$), а треугольник $DKE$ подобен треугольнику $CKA$ (с коэффициентом $\frac{n}{n+1}$). Тогда
$tg\angle KAD=\frac{DK}{AK}=\frac{EK}{AK}=\frac{DE}{AC}=\frac{DB}{AB}=\frac{n}{n+1},$
$tg\angle KAC=tg45^{\circ}=1.$
Поэтому
$tg\angle BAC=tg(\angle KAD+\angle KAC)=\frac{1+\frac{n}{n+1}}{1-\frac{n}{n+1}}=2n+1.$