2021-07-28
В прямоугольной трапеции отношение диагоналей равно 2, а отношение оснований равно 4. Найдите углы трапеции.
Решение:
Пусть $BC=x$ и $AD=4x$ - основания трапеции $ABCD$, $AC=y$, $BD=2y$ - её диагонали и $AB$ перпендикулярно $AD$. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $ABC$ и $BAD$ находим, что
$AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=BD^{2}-AD^{2},$
т.е.
$y^{2}-x^{2}=4y^{2}-16x^{2}$,или $15x^{2}=3y^{2}.$
Отсюда следует, что $y=x\sqrt{5}$.
Пусть $CK$ - высота трапеции. Тогда
$CK=AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5x^{2}-x^{2}}=2x,$
$DK=AD-AK=AD-BC=4x-x=3x.$
Следовательно,
$tg\angle CDA=\frac{CK}{KD}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}.$