Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 5141
2021-07-28 
Замечательное свойство трапеции. Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.
Решение:
Первый способ. Пусть $Q$ - точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, $M$ - середина меньшего основания $BC$, $P$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, $N$ - точка пересечения прямой $QM$ с большим основанием $AD$.
Из подобия треугольников $QBM$ и $QAN$ следует, что $\frac{QM}{QN}=\frac{BM}{AN}$, а из подобия треугольников $QCM$ и $QDN$ - $\frac{QM}{QN}=\frac{CM}{DN}$. Поэтому $\frac{BM}{AN}=\frac{CM}{DN}$, а т.к. $BM=CM$, то $AN=DN$, т.е. $N$ - середина $AD$.
Аналогично докажем, что прямая, проходящая через точку $P$ пересечения диагоналей и середину одного из оснований, проходит через середину другого основания.
Второй способ. При гомотетии с центром в точке $P$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, переводящей вершину $B$ трапеции $ABCD$ в вершину $D$, точка $C$ переходит в точку $A$, основание $BC$ - в основание $DA$, середина $M$ основания $BC$ - в середину $N$ основания $DA$. Следовательно, прямая $MN$ проходит через центр гомотетии, т.е. через точку $P$.
Аналогично докажем, что прямая $MN$ проходит через точку пересечения прямых $AB$ и $DC$.
Замечательное свойство трапеции. Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.
Решение:
Первый способ. Пусть $Q$ - точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, $M$ - середина меньшего основания $BC$, $P$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, $N$ - точка пересечения прямой $QM$ с большим основанием $AD$.
Из подобия треугольников $QBM$ и $QAN$ следует, что $\frac{QM}{QN}=\frac{BM}{AN}$, а из подобия треугольников $QCM$ и $QDN$ - $\frac{QM}{QN}=\frac{CM}{DN}$. Поэтому $\frac{BM}{AN}=\frac{CM}{DN}$, а т.к. $BM=CM$, то $AN=DN$, т.е. $N$ - середина $AD$.
Аналогично докажем, что прямая, проходящая через точку $P$ пересечения диагоналей и середину одного из оснований, проходит через середину другого основания.
Второй способ. При гомотетии с центром в точке $P$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, переводящей вершину $B$ трапеции $ABCD$ в вершину $D$, точка $C$ переходит в точку $A$, основание $BC$ - в основание $DA$, середина $M$ основания $BC$ - в середину $N$ основания $DA$. Следовательно, прямая $MN$ проходит через центр гомотетии, т.е. через точку $P$.
Аналогично докажем, что прямая $MN$ проходит через точку пересечения прямых $AB$ и $DC$.
