2014-06-07
Доказать, что для любых значений $a,b \in \mathbf{Z}$, удовлетворяющих неравенствам $5a \geq 7b \geq 0$, система
$
\begin{cases}
x+ 2y +3z+7u =a,&\text{}\\
y+2z+5u=b,&\text{}
\end{cases}
$
в целых неотрицательных числах имеет решение.
Решение:
Пусть числа $a, b \in \mathbf{Z}$ удовлетворяют неравенствам $5a \geq 7b \geq 0$. Положим $u = [b/5]$, тогда величина $v = b-5u$ может принимать лишь значения из множества
${0; 1; 2; 3; 4}$.
Используя равенства
$7b = 7(5u + v) = 35u+7v$,
получаем соотношения
$a – 7u \geq \frac{7b}{5} 77u = \frac{7v}{5}$,
В случае $v=0$ положим
$y=z=0,x=a-7u$,
тогда $x \geq 7v/5 = 0$. В случае $v=1$ положим
$y=1,z=0,x=a-7u-2$,
тогда $x \geq 7/5 -2 > -1$, т. е. $x \geq 0$ (ибо $x \in \mathbf{Z}$). В случае $v=2$ положим
$y = 0, z=1, x=a – 7u – 3$,
тогда $x \geq 14/5 - 3 > - 1$, т.е. $x \geq 0$. В случае $v=3$ положим
$y=z=1,x=a-7u-5$,
тогда $x \geq 21/5 – 5 > - 1$, т. е. $x \geq 0$. Наконец, в случае $v=4$ положим
$y=0, z=2, x=a-7u-6$,
тогда $x \geq 28/5 - 6 > -1$, т.е. $ \geq 0$. Таким образом, в каждом из разобранных случаев числа
$x,y,z,u \in \mathbf{Z}^{+}$
удовлетворяют равенствам
$x=a-7u-3z-2y,5u=b-v=b-2z-y$,
а значит, и исходной системе.